Kalkülüs
Kalkülüs
Temel
Türev
İntegral

İntegral Alma Yöntemleri:
Çok değişkenli
Vektör hesabı

İntegral, Matematikteki temel işlemlerden biridir. Bu maddede yaygın integrallerin hesaplanışını bulacaksınız.

C harfi burada integral sabiti olarak kullanılmıştır.

Genel Fonksiyonların İntegralleri için Kurallar

∫ a f ( x ) d x = a ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx}
∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}
∫ f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) ∫ g ( x ) d x − ∫ ( ∫ g ( x ) d x ) d ( f ( x ) ) {\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\right)\,d(f(x))}

Basit Fonksiyonların İntegralleri

Rasyonel Fonksiyonlar

Ana madde: Rasyonel fonksiyonların integralleri
∫ d x = x + C {\displaystyle \int \,dx=x+C}
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C  Eğer  n ≠ − 1 {\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ Eğer }}n\neq -1}
∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C}
∫ d x a 2 + x 2 = 1 a arctan ⁡ x a + C {\displaystyle \int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C}

İrrasyonel Fonksiyonlar

Ana madde: İrrasyonel fonksiyonların integralleri
∫ d x a 2 − x 2 = arcsin ⁡ x a + C {\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C}
∫ − d x a 2 − x 2 = arccos ⁡ x a + C {\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C}
∫ d x x x 2 − a 2 = 1 a arcsec | x | a + C {\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}{\mbox{arcsec}}\,{|x| \over a}+C}

Logaritmik Fonksiyonlar

Ana madde: Logaritmik fonksiyonların integralleri
∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x − x + C {\displaystyle \int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C}
∫ log b ⁡ x d x = x log b ⁡ x − x log b ⁡ e + C {\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C}

Üstel Fonksiyonlar

Ana madde: Üstel fonksiyonların integralleri
∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}
∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C {\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}

Trigonometrik Fonksiyonlar

Ana madde: Trigonometrik fonksiyonların integralleri
∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C {\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C {\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫ sin 2 ⁡ x d x = 1 2 ( x − sin ⁡ x cos ⁡ x ) + C {\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}
∫ cos 2 ⁡ x d x = 1 2 ( x + sin ⁡ x cos ⁡ x ) + C {\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}
∫ 1 sin ⁡ ( β x ) d x = ln ⁡ ( tan ⁡ β x 2 ) β + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\sin {(\beta x)}}}\,dx={\frac {\ln(\tan {\frac {\beta x}{2}})}{\beta }}+C}
∫ 1 tan ⁡ ( β x ) d x = log ⁡ ( sin ⁡ β x ) β + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\tan {(\beta x)}}}\,dx={\frac {\log(\sin {\beta x})}{\beta }}+C}
∫ 1 cos ⁡ ( β x ) d x = a r c t a n h ( tan ⁡ β x 2 ) β + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\cos {(\beta x)}}}\,dx={\frac {arctanh{(\tan {\frac {\beta x}{2}})}}{\beta }}+C}
∫ 1 cot ⁡ ( β x ) d x = − log ⁡ ( cos ⁡ β x ) β + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\cot {(\beta x)}}}\,dx=-{\frac {\log {(\cos {\beta x})}}{\beta }}+C}
∫ arcsin ⁡ ( β x ) d x = x arcsin ⁡ β x + 1 − β 2 x 2 β + C {\displaystyle \int \arcsin {(\beta x)}\,dx=x\arcsin {\beta x}+{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}x^{2}}}{\beta }}+C}
∫ arctan ⁡ ( β x ) d x = x arctan ⁡ β x − log ⁡ ( 1 + β 2 x 2 ) 2 β + C {\displaystyle \int \arctan {(\beta x)}\,dx=x\arctan {\beta x}-{\frac {\log {(1+\beta ^{2}x^{2})}}{2\beta }}+C}
∫ arccos ⁡ ( β x ) d x = x arccos ⁡ β x − 1 − β 2 x 2 β + C {\displaystyle \int \arccos {(\beta x)}\,dx=x\arccos {\beta x}-{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}x^{2}}}{\beta }}+C}
∫ arccot ⁡ ( β x ) d x = x arccot ⁡ β x + log ⁡ ( 1 + β 2 x 2 ) 2 β + C {\displaystyle \int \operatorname {arccot} {(\beta x)}\,dx=x\operatorname {arccot} {\beta x}+{\frac {\log {(1+\beta ^{2}x^{2})}}{2\beta }}+C}

Kapalı formda integrali alınamayan belirli integraller

Bazı fonksiyonların kapalı formda ters türevleri [integralleri] alınamazlar. Buna karşın, belirli integral şeklinde bazı fonksiyonların integral değerleri hesaplanabilir. Bunlardan en çok bilinen ve kullanılanlar şunlardır:

∫ 0 ∞ x e − x d x = 1 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}} (ayrıca bakınız Gama fonksiyonu)
∫ 0 ∞ e − β x 2 d x = 1 2 π β , β > 0 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-\beta x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{\beta }}}\quad ,\quad \beta >0} (Gauss integrali)
∫ 0 ∞ x e x − 1 d x = π 2 6 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} (ayrıca bakınız Bernoulli sayısı)
∫ 0 ∞ x 3 e x − 1 d x = π 4 15 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}
∫ 0 ∞ sin ⁡ ( x ) x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}
∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x = Γ ( z ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)} ( Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} Gama fonksiyonu'dur)
∫ − ∞ ∞ e − ( a x 2 + b x + c ) d x = π a e b 2 − 4 a c 4 a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
∫ 0 2 π e x cos ⁡ θ d θ = 2 π I 0 ( x ) {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)} ( I 0 ( x ) {\displaystyle I_{0}(x)} olduğunda ,Bessel fonksiyonu'nun birinci çeşidi olarak düzenlenebilir.)
∫ 0 2 π e x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ d θ = 2 π I 0 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}

--

∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) ∑ n = 1 ∞ ∑ m = 1 2 n − 1 ( − 1 ) m + 1 2 − n f ( a + m ( b − a ) / 2 n ) . {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{f(x)dx=\left({b-a}\right)}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)/2^{n}).}
  • Not: Daha çok ve ayrıntılı integraller için İngilizce sayfadaki more integrals about ... linklerine tıklanabilir.

Konuyla ilgili yayınlar

Dış bağlantılar

İntegral tabloları

Türevler

Çevrimiçi servisler

Açık kaynak yazılımlar